漫谈如何教数学
作者：曹之江
教学，是一种传知的高级心智活动，这种活动有着自己的规律性，为了搞好教学，我们需要去体验、研究这种规律性，这对于数学教学尤其如此.当今在大学里讲授的基础数学，无论从语言符号及观念、方法上来看，均属于现代形态的数学，是比较不好教不好学的，它既难于理解，更不易掌握运用，被许多人视为畏途.然而数学却并不是注定难教的，它同时又是一种能启人智慧和吸引人的课程，我们确实可以看到有不少学习入了门的人，对之兴趣盎然以至废寝忘食.这说明了教数学与学数学，也自有其入门的“门道”的，这个“门道”，也就是数学的认知规律在多种教学环境下的具体体现，这是需要人们在教学实践中去细心体察与探索的.一个教师一旦把握了这些门道，他的教学就会变得主动而自如.然而教学毕竟不是物质的运动，它的规律我们不能像物理定律那样作出严格的表述，而只能作原则性的定性描述.下面提出五个方面的有关问题分别进行一些探讨.
让学生知道所云为何物：让学生知道所云为何物，这也许是当今数学教学中第一件应当引起关注的问题.数学因为所研讨的不是现实的物质对象，它只是一堆抽象空洞的符号推来演去，因此很难使人了解它是在干什么，有不少已毕业的大学生，成绩单上数学分数也有较体面的记录，然而若向他探问起学过的数学时，却常常茫然不知所答，或者说“还给了老师了”.甚至有的教师竟也向学生坦言，自己也不知道“这些东西是干什么用的”.数学教学中的这种“不知所云为何物”的状况，十分糟糕.一个人对于自己不理解的东西，学习时只能死记硬背，而死记硬背的数学，在实际中是毫无用处的.据了解，这种“不知所云”的现象，在高校的基础数学课程中普遍地存在着，它严重地影响着数学教学的质量.应当如何看待并解决这个问题？按照现代心理学的原理，所谓一个人认识一件新事物，或接受一个新概念，意味着他将这个新事物或新概念同他已有的经验或观念相衔接，并用已有的经验与观念诠释新的事物与观念，这个道理对于数学的学习理解尤其如此.数学的概念，对于初学的人来讲是一种全新的事物，从形式上来讲它是一种超现实的东西，因而也是超经验的或超物质的，要理解它我们就需要将它与人在物质世界中取得的已有经验相衔接.因此一个教师，若在课堂上只是把数学课本上的定义、定理、推证照本宣科地直讲，效果肯定是不佳的.这时他就需要告诉学生，这些数学概念是从哪里来的，它们是怎样从现实的物质世界中发源和发展起来的，它们的价值是什么等等.在科学发展的历史上，任何一种新概念或新思想，都不是从天上掉下来的，而是人在探索世界和认识的发展过程中应运而生的，我们讲数学，就是要把这个“运”字讲出来.譬如函数，是微积分里研究的主要对象.古代的希腊人、阿拉伯人并不知道什么函数.古典的数学只是对现实世界物质的量和形，作孤立的静态描述，它们只知道数.然而人类的文明进展到了中世纪，就需要去定量描述计算物质的运动变化，要求对物质进行动态的精确描述，这就使得人们在数的基础上，提出了函数这个新概念.再经过二、三百年的演化与完善，形成了今天在课本上看到的函数的抽象定义.我们这样讲数学，就是要让超现实的数学概念回溯到它的物质源头，从而使它与人的固有经验相衔接.事实上，对于当今大学里的各类基础数学课程，它们所包含的抽象概念，我们基本上都不难讲述出它们的物质背景与源泉，从而都能做到知其所云为何物”（当然这对教师提出了更高的要求）.这也就是我们所提倡的形式化数学教学的返璞归真，或抽象数学的物质化.
主动学习和兴趣：所谓主动学习，是指学生在学习过程中常处于一种自觉能动的状态.现代教育把主动学习作为教学的最重要原则之一，社会与学校也以各种手段，促使学生们主动学习，如考试、升留级、各种奖惩、就业与待遇等等，然而这些出自功利的驱动力，虽然也有一定效果，但毕竟是消极的，作用有限.人学习的最大的原动力是兴趣，这是一种出自人的好奇和好胜的本性的内蕴动力.纵观人类文明发展的历史，几乎一切科学上最伟大的发现和发明，均是在人的强烈的好奇和好胜心理的驱动下实现的.事实证明，人的好奇与好胜本性乃是推动人类文明发展的最伟大的原动力，它也是数学繁荣发展的最大的原动力.然而这种出自天性的动力，并不是社会外加的利害驱动，而是要靠教师去激发.那么，数学的教学能够激发人的这种天性吗？有的人怀疑，数学这种枯燥难懂的东西，如何能引发人们的兴趣？这种疑虑是一种偏见，诚然对于有些人来讲，数学是引不起兴趣的，然而对于另部分人而言，数学却是智力自由驰骋的最广阔的原野.数学的无比广大与深远的物质背景，由这些背景所提供的无数的问题，以及为求解这些问题所出现的种种神妙无比的方法，这些都深深使人倾倒.康托曾说：“数学的本质就是自由”.事实证明，数学是启迪人的智慧与潜力，激发人的能动性与创造精神的最好的手段.数学中不是有数不完的难题吗？这是其他学科所不能提供的，这些难题确实吓退了许多人，但也确实有不少人迎头而上接受智力挑战，最后造就了有学问的大家.行文至此，我们尚有最重要的一句话，即要实现这一切，平庸的数学教学是不够的，我们需要优秀的数学教学和优秀的数学教师.正如波里亚所说过的，一个数学教师，应该有创造性工作的体验，也就是说他应该做过一定的研究工作， 不论研究是应用性的或是理论性的，假如他自己没有这种体验，那么他如何能去激发出学生的兴趣与创造精神呢？
拾阶而上：为使初学的学生具有巩固的学习热情，持续地保持主动学习的状态，最有效的办法莫过于使他们听清楚每一堂课.连续地听懂了所讲的课，学生们体验到了学习成功的喜悦，就会大大扫除对数学的畏怯心理，增强学习的信心，并使教学进入良性循环.那么，如何对初学者做到讲清楚每一堂课呢？为此我们需要从数学的微观教学与宏观教学两个方面来分别进行分析.
从微观上看，基础数学课程的教学，实质上乃是在一定知识载体上的数学逻辑的演绎训练（包括符号演算）.谈到演绎思维，人们是不习惯的，至于数学逻辑的演绎，更是一种专业性的训练，是不易理解与掌握的，需要进行大量的反复练习实践.此外，数学逻辑的演绎，在思维结构上看是串联性的，这就是说，在逻辑演绎的推理链上，只须有一个环节不连接，其后续的推理就失去了依据，整个演绎就不能继续.这说明了这个思维结构的脆弱性.由于上述原故，这就要求我们在数学课堂讲授中，必须做到十分细致、缜密，不使演绎的链中断，这特别对于初学者来讲，是异常重要的.然而上述一切，并不是说数学一定是难教的.教数学，无论是讲一堂课，或一章以至于全课程，都好似登一座山，山无论多高多峻，只须我们看清了路并铺垫好路上每一块台阶，然后一步一步地拾级而上，最后必定能平稳地登越山顶.对于教学，其理也一样.这相应地意味着要求教师，在上每一堂课之前，要细心地分析课文，找出论述与证明中每一个认识跃点，把它们作为理解掌握课文的“台阶”，然后在课堂讲授中拾阶而上，走实一步再走下一步，这就可保证学生听课不“坐飞机”.学生为什么会“坐飞机”？就是因为教师在认识上作“越阶”讲授，或许是教师自己对课文很熟悉了，认为一切都简单，从而不经意地快步或跳跃讲课，教师不自觉地一步跨了二、三级，学生自然就跟不上，而一步跟不上后面就步步跟不上，从而造成了常听不懂的恶性循环的后果.这种情况也许是当前数学讲授效果不好的一个主要原由，应当引起我们的关注.
树木与森林：在数学教学中，我们可以看到这样一种独特的现象：教师把课讲得很细致，步骤交待得很清楚，学生也都听明白了，但他们却仍感到似懂非懂，不得要领，问不出问题，也无落地感. 这就是数学教学中“只见树木不见森林”的讲授所形成的后果.那么，什么是数学教学中的“树木”，什么又是“森林”？所谓“树木”，我们是指课程各章节中所讲述的具体内容，这是教学的实体，我们姑把具体内容按程序的讲授称为数学的微观教学.而所谓“森林”，我们是指从高处以更广的视野对课程内容的概括性的论述称为数学的宏观教学.现代数学是一种理性主义的思维形态，具有很强的逻辑结构性，这种结构性乃是数学的本质性特征［1］，是学习数学时所必须加以认识理解的.就像要了解一台精密的设备（钟表、计算机等），若仅仅只了解它所有的零部件是不够的，我们必须要在宏观上懂得它的结构框图，知道它的各种运作功能与配合原理.这个道理对于学习数学也是同样的.实践证明，数学教学若仅仅限于微观教学，是学不到真正的数学思想与方法的，更谈不上应用数学知识去创造性地解决实际问题了.因此宏观的教学是数学教学的必需，是它们不可或缺的部分.
下文我们再从教学法的角度，来看一下宏观教学在数学教学中的地位. 纯粹的“只见树木不见森林”的数学教学，是让学生在无目标意识的情况下，进行盲目追随式的学习，这是一种被动式的学习，它不仅不能激发学生的兴趣和学习热情，更遑论启迪学生的智慧与创造精神了，因而这是一种平庸的教学，但若有适量的宏观性教学加入其中，就可使学生的学习有了明确的目标意识，而纷繁多头的微观教学也就会呈现出清晰的主干脉络和条理性，这就大大地增强了学生学习的自觉性和能动性，改变被动学习的状态.因为教学的宏观性，并不是教学内容实体的增加，因而是不常见诸于课文的，因此“见森林”的数学宏观教学本质上是一种水平教学，它是教师根据自己的理解水平在教学中能动的创造性的发挥.正因为如此，数学的宏观教学因而呈现出多样性和多层面性，当然本文不可能在这里为各基础数学课程的宏观教学提出什么标准的设计，但是从教学法的考虑出发，我们至少应该要求教师能够讲明白：本课程或本章节在研究讨论什么问题，它们用了什么方法，本堂课要讲的内容在整个论理系统中占着什么地位等等.当然数学是一门深不见底的学问，它的宏观性水平也是无止境的.优秀的数学教学可以从哲学、美学的高度来审视数学及其潮流，自然我们不能对教师都作这样的奢求，但这应该是他们学习、追求的目标.
教数学是一种艺术 教学，从大处看关及到国家的人才培育，从小处看关及到个人的前途命运，因此无论如何，是一件严肃的事情.然而有的人把这个严肃性看得很呆板，记得过去有一段时间里，领导总是喜欢这样教导学生：学习是党和人民交给的光荣任务，并提出“学习就是战斗，课堂就是战场”的口号.同时用类似的话去教导教师.在这种训导下，课堂就变得庄重肃穆，教师在讲台上绷着脸，拉长了声调一字一句照着讲稿念，一句多余的话都不敢说，学生则更是个个端坐作“战斗”状.然而据知，这样的教学效果是十分糟糕的，大家都感到疲乏厌烦，苦不堪言.实践证明，课堂气氛生活活泼，师生交互的教学效果要比那些形式呆板的教学效果要好得多，把上课当作为“战斗”，是完全不符合科学的认知规律的.什么是教学的“严肃性”？严肃性是一种使教学达到最佳效果的原则性，而不是指教学形式必须这样那样.现在有些主管领导仍在谆谆教导学生们在课堂上要聚精会神，要求教师“不讲废话”.诚然，他们的责任心无可非议，然而殊不知要使学生在两学时的数学课内始终聚精会神不生困倦，光靠口号与长官命令是不行的，这主要靠教师的教学艺术与魅力，而这恰恰要求我们不应去作任何限制教师自由发挥的事.美国数学家兼教育家波里亚（Polya. G）把数学讲授视为是一种艺术，这说明了数学教学绝非照本宣科，对于教师而言，教学有很大的能动性与自主性.同一数学内容，由两个不同风格的教师去讲授，其效果可以是完全不同的.这种差异的根本点在于讲授的单调与多样性.英国数学家、哲学家罗素（Russel）曾说“世界的多样性是人类幸福的源泉”.一堂单调而平庸的数学课，好像是给学生啃一个干馒头，其乏味可想而知.一堂数学课，除课文上列出的定义、定理之外，教师本来可以而且应该围绕这些内容主题，去讲述许多有关和有趣味的东西，如举应用、谈方法、作类比、讲历史等等.这些附加的内容，与正文内容有机地掺和在一起，娓娓讲来，就使得课堂讲授变得丰富、多样、生动而有趣.这些不在课文之内由教师自行发挥的“废话”，就好似加在菜肴里的佐料和调料，教师讲课就好似大师傅做菜，他掌握火候，适时加进各种调料和佐料，把一道菜做得色香味俱全.现在大家都认为作出美味佳肴是一件大本领，而讲授数学是一种更高级的艺术.教师是教学的主导，是教学成败之所系，为了成功的数学教学，我们要尊重教师的自主和自由，并为他的教学艺术才干的造就与发挥提供条件.
参考文献
［1］曹之江.论优秀的数学教学［J］.中国大学教育.2005.10.11~13
［2］曹之江.漫谈数学科学的教学研究［J］.大学教学.2004,20(4).13~14